整数阶和分数阶多涡卷混沌吸引子的电路实现

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[摘要]
构造了一个由三角波函数驱动的新三维连续自治多涡卷整数阶和分数阶混沌系统，进行了相应的理论分析和数值仿真，设计并实现了相应的实验电路。新系统的涡卷平衡点均匀分布在x-y平面的网格点上，可以充分利用实验电路有源器件的有效工作区间，在保证有源器件运算精度下可产生更多涡卷数量的混沌吸引子。实验结果表明，新提出的整数阶和分数阶系统可产生多达81个涡卷的混沌吸引子。


1.作品简介
多涡卷混沌吸引子生成的理论研究和电路实现已成为混沌研究领域的一个新方向[1-7]相比于传统的单涡卷和双涡卷混沌系统，多涡卷混沌系统呈现出更为复杂的结构和动力学行为，在保密通信和信息隐藏等领域具有较好的应用前景。

为了能够实现在实际电路中产生更多涡卷数量的混沌信号，本文构造了一个新的混沌系统，使用三角波函数来驱动产生多涡卷混沌吸引子。与文献[2]所提出的三角波函数驱动的系统相比，本文所构造的系统产生的混沌吸引子均匀地分布在横o坐标柡和纵坐标原点为中心的网格点上，这样可以充分利用运算放大器的有效工作区间。以此系统来设计电路，从而能产生涡卷数量更多的混沌信号输出。实验结果表明新构造的整数阶和分数阶系统都能产生81个涡卷的混沌吸引子。

指标要求：产生整数阶和分数阶49涡卷混沌吸引子和81涡卷混沌吸引子。

2.方案设计

为了获得多涡卷混沌吸引子，需要对系统方程中的非线性函数进行特殊设计，通常采用的函数构造方法有多转折点分段线性函数法、阶梯函数法、滞后函数法和饱和函数法等12-51]。同样地，利用在整数阶多涡卷混沌系统中的构造方法，在分数阶混沌系统中也能获得相应的多涡卷混沌吸引子[6.7]。由于分数阶混沌系统的动力学特性要比整数阶混沌系统的更为复杂，因此，关于分数阶多涡卷混沌吸引子生成系统的理论研究和电路实现近几年成为了研究者们一个新的研究热点。

2.1整数阶三维多涡卷混沌系统
一个新的由三角波函数驱动实现的三维自治多涡卷混沌系统的状态方程可描述为:




其中μ是控制常数，fn(）为三角波函数，其数学表达式为



式中A>0, Be(0, A]称为三角波函数的变参数，N为正整数。



固定N= 1,A=1,可得系统(1)随参数B变化的分岔图如图1 所示。由分岔图可知，系统(1)由Hopf分岔进入混沌状态，在B∈(0, 0.287]的区域内存在两维9涡卷混沌吸引子，如图2所示。同时从分岔图中可以观察到B值越小，涡卷分布越均匀。因此，除理论分析选择B值为0.1外，在以后的数值仿真和电路实验中，我们均选择B值为0.02。



当N=1,A=1,B=0.1时，三角波函数f(u)曲线如图3所示。当f(u)=0时有5个零点，对应u值分别是ES: [-2,0,2]和°S:[-1,1]，这里ES和°S分别称为偶零点(或涡卷平衡点) 和奇零点（或键波平衡点)。



令dzdx  dy1 1 1p=0.显然，对N=1,A=1,B=0.1，系统(1)有5x5 个平衡点，其中3x3个平衡点位于z=0的xxy= [-2,0,2]×[-2,0,2]平面网格上，称之为偶平衡点Es;其它2x2个平衡点位于z=0的xxy=[-1, 1]x[-1,1]平面网格上，称之为奇平衡点°s。

系统(1)在平衡点S*=(x*，y*,z*)处的Jacobian矩阵为:






若u=2k(k=0, +1, +2, ....N，),..则有f:(u)=-1;或若u=(2k-Ikl/ k)(k=+1, +2, ... +N),则有f\(u)=(A- B)/B=9。在平衡点S*附近线性化系统得到以下特征方程:



对偶平衡点Es,有fN(u)=-1,上述 表达式变成为



注意到该三次多项式的系数在μ>0时均为正数，因此对所有λ>0都有f()>0。数值计算表明当μ> 1时，方程式(6)有一个负实根和两个实部为正数的共轭复根。μ=1是Hopf分岔的临界点。
对奇平衡点S,有f/(u)=9,方程式(5)变成为




当μ>1时，方程式(7)有一个负实根和两个实部为正数的共轭复根。

理论分析和数值仿真表明由三角波函数驱动的系统(1)在μ> 1的条件下会产生混沌行为。这里系统(1)的所有平衡点S* 都是指数2的鞍点。

选择μ=2,A=1,B= 0.02,N分别为3和4时，新提出系统是混沌的，能分别产生49涡卷和81涡卷的混沌吸引子，如图4所示。当N=3时，有7x7个涡卷平衡点和5×5个键波平衡点:而当N=4时，有9x9个涡卷平衡点和7×7个键波平衡点。从图6中可以看到，新构造系统的涡卷平衡点均匀分布在x-y平面的网格点上，每个涡卷平衡点都能产生一个涡卷混沌吸引子，这样吸引子运行轨道在较小的尺度范围内可以较充分地填满整个相空间。




2.2.分数阶三维多涡卷混沌系统
关于分数阶微分有多种不同的定义，其中采用Riemann-Liouville定义和Caputo定义较为普遍。Riemann-Liouville 定义最为简单易用，它描述为:



其中n为大于q的最小整数，即n- 1≤q<n, r (0)为伽马函数。分数阶微分的Caputo定义，有时被称之为光滑分数阶微分，可描述为:



其中m为不小于q的第一个整数。对零初始条件，分数阶微分的拉普拉斯变换是:



此外，分数阶积分的拉普拉斯变换为:



与常微分方程的数值求解不同，分数阶微分方程的数值仿真仍成问题。在分数阶混沌领域的相关文献中，提出了两种数值解析分数阶微分方程近似方法。
第一种方法是改进的Adams- Bashforth-Moulton算法[8],是基于预估校正原理提出的。第二种方法，称之为频域近似9),在频域中近似分数阶系统的特性。这里采用频域    近似法由电路仿真给出分数阶多涡卷混沌系统的动力学解析结果。

在o=10-2~ 102 rad/s范围内，最大失真为2dB的1/s0.9 的近似表达式为:




可实现1/s9的单元电路如图8(a)所示，从图中得到传递函数H(s)为:



式中Co为单位参数，如果取Co=1μF, 则H(s)= F(s)Co, 比较式(12)和式(13)，由1/RC=0.01292,1/R, C2 -2.1541/RC3 =359.4，可得R=77.4 MO, R2= 208.5 k9, R3=2.75k9, C=1 μF, C2=2.2 μF, C=1 μF。



在以下电路原理图中用图50(b)代替图5(@)实现1/s09的单元电路。

系统(1)对应的分数阶多涡卷混沌系统可以用下面连续自治三维分数阶微分方程组表示:




这里μ为正实常数，0<a,β, Y< 1。当a=β= y=1,式(14)就变成整数阶多涡卷混沌系统。

3.硬件电路设计
可以采用纯模拟电路方法，设计一个实现整数阶和分数阶多涡卷混沌系统的实验电路。选择TI公司的TL082CP运算放大器1101完成整数阶和分数阶多涡卷混沌系统方    程中的加减运算、积分运算和三角波函数产生等功能。TL082CP运算放大器的特点有:低功耗，广泛通用模式和电压变化范围;输入偏置低和低补偿失调电流;有输出短路保护;高输入阻抗;内置频率补偿;速度快;输入电源电压通用等。其电源电压E=+15V,实验测得输出电压的饱和值为Vsat=+13.5 V。为了便于电路实验，所有电阻均采用普通色环电阻与精密可调电位器组合实现。




图6的实验电路为N = 4的三角波函数发生器。如果将图6中最上部的两个运算放大器与其它电路断开，那么所得到的电路为N = 3的三角波函数发生器。图7为基本的三维系统电路。
在图6中，电阻R4和R6决定了B的大小，其数学关系可以表示为:




图7中的1/(R*C)为积分器的积分常数，同时也是时间尺度变换因子，固定R = 1002不变，改变C的大小，可改变时间尺度变换因子，从而可改变混沌信号的频谱范围。在    电路实验中，取R =100Q,C= 1pF。图7中的电阻R和R8:决定了μ的大小，其数学关系可以表示为μ=R8/R。 当μ=2时，取R=5 k2, Rs= 10kQ。

图7实现的整数阶和分数阶系统电路是通过一组拨动开关进行转换的。当开关组向左拨动，与分数阶单元电路相连，就可把整数阶系统电路转变成了一个分数阶系统电路。_



4.作品性能测试与分析
用实际电路进行混沌系统的实验验证具有重要的物理意义和应用价值[2,5]。但在实际应用中，电路实现更多涡卷数量的混沌吸引子，受到实际元器件的许多限制。例如，有源器件如运算放大器的高精度运算的动态范围一般是较为有限的，在输入信号的动态范围变化较大的情况下，器件输出信号与输入信号之间的运算精度会降低，误差将增大，再加之各个运算放大器以及电路中其它元件( 如电阻、电容等)参数的离散性，使得实际运算放大器难以实现较为精确的数学运算关系。这可能是目前很少有文献报道通过电路实验产生更多涡卷混沌吸引子的一个主要原因。

按照上面设计的图6和图7电路原理图，我们制作了一个实际的实现整数阶和分    数阶多涡卷混沌系统的实验电路。

在整数阶(1, 1, 1)即a=β=γ= 1时，图7电路中三个通路的开关接通电容器C;在分数阶(0.9, 0.9, 0.9)即a= β=γ=0.9时，图7电路中三个通路的开关接通图6(a)单元电路。在TL082运算放大器输出端一x和y.上分别连接示波器两个通路。

从数字存储示波器上观察到的硬件电路实验结果分别如图8和图9所示。图8为整数阶和分数阶49涡卷混沌吸引子的电路实验输出，图9为整数阶和分数阶81涡卷混沌吸引子的电路实验输出。




5.结论
一般来说，一个混沌系统产生的混沌吸引子涡卷个数越多，其混沌特性就越好，用于信号调制和加密的保密性能也就越好，但由于运算放大器的动态范围是有限的，_因此电路输出的涡卷个数也就受到了限制。本文通过构造一个新的由三角波函数驱动的三维连续自治系统，实现了49涡卷和81涡卷的整数阶和分数阶混沌系统，进行了相应的理论分析和数值仿真，并用一个实际电路实现了整数阶及其分数阶的多涡卷混沌吸引子产生系统。硬件电路实验结果表明，本文提出的实现多涡卷混沌系统这一方案是可行和有效的。图10为电路实物照片。_

春风十里

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